题目

抽象代数 群论,
Find the number of elements of order 3 in A6.
What is the smallest n for which there is an element of order 8 in An?Justify your answers.
（阶为6的偶置换群A6里面,有多少个阶为3的元素?）（求n的最小值,使得阶为n的偶置换群An里面,含有阶为8的元素）
还有这个问题能分析透彻的话加分加分：对于这种，问一个阶为m的偶置换群里面含有多少个阶为2，3或者n的元素应该怎么做呢？
换句话说，一般情况下在阶为m的偶置换群里面，存在多少个阶为n的元素？（n当然能被m整除）

提问时间：2021-03-05

答案

对于对称群Sn来说（An是Sn的子群,下述命题仍成立,但具体操作时注意一定是偶置换就好了,也就是,所有无交轮换的阶为偶的恰有偶个）
任何一个元素都可以分解为若干个不交的轮换的乘积.
若干个不交的轮换的乘积的阶等于这若个轮换的阶的最小公倍数.
（这两个命题,你自行证明）

现在分析第一题：
3阶元素,若干个数的最小公倍数为3,那么这些数里面只能有1和3
对于轮换的阶来说,阶为1的就是恒等映射.故只有阶为3的,那么在A6,情况就很显然了,一个3-轮换,满足,一共有C(3,6)种（1到6选3个,无需排序）,两个无交的3-轮换当然也是偶置换,一样有C(3,6)种
所以一共有2C(3,6)种

再分析第二题.
8阶元素,若干个数的最小公倍数为8,那么这些数里面一定要有8
但注意到8是偶数,那么需要另一个偶阶的与他乘在一起才能是偶置换.
那么这样至少需要一对无交轮换:一个对换和一个8-轮换.
那么显然,n最小取10

其他分析也相仿.

Ps:代数的英文我看的懂,虽然不会写.汗.英文永远是心中的痛.
你这句话也说错了：阶为6的偶置换群A6里面
A6的阶为6!/2