题目

平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0) (a>0)连线斜率之积等于非零常数m的点的轨迹
平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆，椭圆或双曲线。
第一小题问曲线C的方程，以及C的形状与m的关系 主要是第2小题，问当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的m在（-1,0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1，F2是C2的两个焦点，求在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=▏m ▏a² 如果存在，求tan∠F1NF2的值，如果不存在，请说明理由

提问时间：2020-10-08

答案

这是2011湖北理科数学高考第20题
（Ⅰ）设动点为M,其坐标为（x,y）,
当x≠±a时,由条件可得kMA₁•kMA₂=y/ ﹙x-a ﹚•y/﹙ x+a ﹚=m,
即mx²-y²=ma²（x≠±a）,
又A₁（-a,0）,A₂（a,0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
当m＜-1时,曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时,曲线C的方程为x²+y²=a²,C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时,曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时,曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1,C是焦点在x轴上的双曲线；
（Ⅱ）由（I）知,当m=-1时,C1方程为x²+y²=a²,
当m∈（-1,0）∪（0,+∞）时,C2的焦点分别为F1（-a√﹙1+m﹚ ,0）,
F2（a √﹙1+m﹚,0）,
对于给定的m∈（-1,0）∪（0,+∞）,C1上存在点N（xο,yο）（yο≠0）,使得△F1NF2的面积S=|m|a²,
的充要条件为 xο+yο=a²① （1/ 2）* 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a² ②
由①得0＜|y0|≤a,由②得|y0|=|m|a√﹙ 1+m﹚ ,
当0＜|m|a / √﹙ 1+m﹚≤a,即﹙1- √5﹚/ 2 ≤m＜0,或0＜m≤﹙1+ √5﹚/ 2 时,
存在点N,使S=|m|a²,
当|m|a / √﹙ 1+m﹚ ＞a,即-1＜m＜﹙1- √5﹚/ 2,或m＞﹙1﹢√5﹚/ 2 时,不存在满足条件的点N．
当m∈[﹙1- √5﹚/ 2 ,0）∪（0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时,由 NF1 =（-a √﹙ 1+m﹚ -x0,-y0）,NF2 =（a√﹙ 1+m﹚ -x0,-y0）,
可得 NF1 • NF2 =xο²-（1+m）a²+yο²=-ma²．
令| NF1 |=r1,| NF2 |=r2,∠F1NF2=θ,
则由 NF1 • NF2 =r1r2cosθ=-ma²,可得r1r2=-ma² cosθ ,
从而s=½ r₁r₂sinθ=-ma²sinθ/ 2cosθ =-½ma²tanθ,于是由S=|m|a²,
可得-½ ma²tanθ=|m|a²,即tanθ=-2|m|/ m ,
综上可得：当m∈[﹙1-√5﹚/ 2 ,0）时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a²,且tanθ=2；
当m∈（0,﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时,在C1上存在点N,使得△F1NF2的面积S=|m|a²,且tanθ=-2；
当(-1,﹙1-√5﹚/ 2 )∪(﹙1﹢√5﹚/ 2 ,+∞)时,不存在满足条件的点N．