题目

在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为（0,根号3）,点D的坐标为（1,根号3）,
点C在x轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C.点P为线段CD上一动点（不与C,D点重合）,直线OP将提醒AOCD的面积分成2:1两部分.
（1）求抛物线的解析式
（2）求点P的坐标
（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以点Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切,若存在,请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在,请说明理由.
（4）点M为线段OP上一动点（不与O点重合）,过点O,M,D的圆与y轴的正半轴交于点N.M在运动的过程中,OM+ON的值是否不变?若不变,请求出这个值；若变化,请直接写出变化范围.
主要是（4）,
（4）点M为线段OP上一动点（不与O点重合），过点O,M,D的圆与y轴的正半轴交于点N.M在运动的过程中，OM+ON的值是否不变？若不变，请求出这个值；若变化，请直接写出变化范围.

提问时间：2020-10-08

答案

（1）依题意,设抛物线的解析式为y=a(x-1)^2+根号3,把O(0,0)代入解得a=-根号3,所以抛物线的解析式为y=(-根号3)(x-1)^2+根号3；
（2）C点的坐标为（2,0）,CD的解析式可求得为y=(-根号3)x+2根号3,依题意可求得点P的纵坐标为(根号3)/2,代入CD的解析式,求得 x=3/2,即P点的坐标为[3/2,(根号3)/2]；
（3）设在y轴右侧的抛物线上存在点Q,使以点Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切,Q点的坐标为（m,n）,过Q点作Y轴垂线交Y轴于E点,作OP垂线交OP于F点,则QE=QF=m,直线OP的方程求得为（根号3）x-3y=0,所以QF=I(根号3)m-3n=2(根号3)m,整理得I7-3mI=2,解得m=5/3,
n=(5根号3)/9或m=3,n=-3根号3,即Q点的坐标为（5/3,(5根号3)/9）或（3,-3根号3）；
（4）OP 的解析式求得为 y=x/根号3,设点M的坐标为(m,m/√3),过点O,M,D的圆的方程为:
x²+y²+Dx+Ey=0,把点D,M的坐标代入,得
D+√3E+4=0,3mD+√3mE+4m²=0,解得D=2-2m,E=(2m-6)/√3.
⊙Q的方程为x²+y²+(2-2m)x+=(2m-6)y/√3=0,令x=0,得
y=(6-2m)/√3,∴ 点N的坐标为(0,(6-2m)/√3).
OM²=m²+(m²/3)=4m²/3,∴ OM=2m/√3,ON=(6-2m)/√3,
∴ OM+ON=(2m/√3)+(6-2m)/√3=2√3(定值)