题目

已知sinx+cosx=1/2,则sin三次方x-cos三次方x=?

提问时间：2020-10-08

答案

1、若是求sin³x-cos³x的值
sin³x-cos³x=(sinx-cosx)(sin²x+cos²x+sinxcosx)
=(sinx-cosx)(1+sinxcosx)
因为 sinx+cosx=1/2,所以（sinx+cosx)²=1/4,1+2sinxcosx=1/4
sinxcosx=-3/8
而因为(sinx-cosx)²=（sinx+cosx)²-4sinxcosx=1/4-4*(-3/8)=7/4
∴sinx-cosx=±√7/2
∴原式=±√7/2*(1-3/8)=±5√7/16【即原式等于正负16分之5倍根号7】
2、若是求sin³x+cos³x的值
设sinx+cosx=m,平方
sin²+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx=m²
sinxcosx=(m²-1)/2
原式=(sinx+cosx)(sin²x-cosxsinx+cos²x)
=m[1-(m²-1)/2]
=(2m-m³+1)/2
将m=1/2代入上式得
原式=(2*1/2-1/8+1)/2
=15/16