题目

高中数学选修1-1
点p在椭圆7x^2+4x^2=28上,则点p到直线3x-2y-16=0的距离的最大值是（要过程谢谢）
椭圆方程是：x^2/4+y^2/7=1

提问时间：2020-10-08

答案

点p在椭圆7x²+4y²=28上,则点p到直线3x-2y-16=0的距离的最大值是
直线3x-2y-16=0的斜率k=3/2.
对椭圆方程求导：14x+8yy′=0,故y′=-14x/8y=-7x/4y
令-7x/4y=3/2,得y=-7x/6
代入椭圆方程：7x²+4(-7x/6)²=7x²+(49/9)x²=112x²/9=28
112x²=252,x²=252/112=9/4,故x=±3/2.相应地,y=∓(7/40）
即椭圆上有点（3/2,-7/4)和(-3/2,7/4)的切线与该直线平行,由椭圆与直线的图像
可以看出,应取点(-3/2,7/4)作为P点,此点到直线的距离d最大.
dmax=│3×(-3/2)-2×(7/4)-16│/√13=24/√13=(24√13)/13≈6.66(可用作图验证）