题目

已知空间三点A,B,C的坐标分别是（1,-1,-1）（0,1,2）（0,6,6）,则向量OC在平面OAB的法向量方向上的投影

提问时间：2020-10-08

答案

OA=(1,-1,-1)
OB=(0,1,2)
设OP=(m,n,p)且垂直于平面OAB.
按定理：垂直于平面就是垂直这平面上的任一直线.即：OP 垂直于 OA,OB
故：有OP.OA=0, OP.OB=0
即有：m-n-p=0 (1)
n+2p=0 (2)
以p为参数,得
n=-2p
m=n+p=-2p+p=-p
即OP=(-p,-2p,p)
p可取不为零的任意值.为方便,取p=1
即OP=(-1,-2,1)为平面OAB的法向量.
OC=(0,6,6)
它在OP上的投影为：
L=|OC|*cos(OP,OC的夹角）
=|OC|*|OP|*cos(OP,OC夹角)/|OP| （恒等变形）
即：L=|OC|*cos(OP,OC的夹角）
=|OC|*|OP|*cos(OP,OC夹角)/|OP|
=OC.OP/|OP|
=(-12+6)/根号6
=-6/根号6＝-根号6
如果OP取相反的方向,则投影为负,
即L=根号6.
本题未指定取哪一方向,故均可