题目

冰在水中融化的时间
假设半径为R的球形冰,在温度为T的水中融化（假定在融化过程中水温不变）,可以求出需要多少时间才可以把冰融化掉?
或者如何求出融化的体积与时间的关系函数?
假设冰的初始温度为0度.

提问时间：2020-10-05

答案

相当与两个恒热源之间热量传递的问题,
因为冰的外层融化过程中温度始终为0℃,所以外层融化时,里面的冰是无变化的,而两个热源之间热传导的速度只与温差,截面积,长度有关,此处两个热源恒温,接触所以热传导速度只与冰的表面积有关,可以写成冰块吸收热量的速度dQ/dt=k×表面积S,(此处k为比例系数),
而表面积S与半径r的关系为S=4πr^2,
于是dQ/dt=4πkr^2,
吸收了热量dQ后冰块的增加的体积dV=-dQ/单位体积的冰融化时的潜热U,
(此处我认为冰融化后变成0摄氏度的水后消失了,你如果认为还要变成T摄氏度的水那你再改成dV=-dQ/(U+比热容c×T),就可以了)
考虑V=4/3×π×r^3,于是dV= 4πr^2dr,又dV=-dQ/U,所以
dQ =-4πUr^2dr,又dQ/dt= 4πkr^2,所以
4πkr^2dt=-4πUr^2dr,
kdt=-Udr,
dt= -U/kdr,
t=∫-U/kdr[积分区间为R到0],
t=U/k×R,
即时间与冰块的半径成正比,对应着时间与冰块的体积的1/3次方成正比.
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