题目

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

log 1 2 (x+1) ，x∈[0，1) 1−|x−3| ，x∈[1，+∞)

，则方程f（x）=

1

2

的所有解之和为______．

提问时间：2020-10-03

答案

由题意可得当x＜0时，函数的解析式是
f（x）=

log2(1−x)，x∈(−1，0) |x+3|−1，x＜−1

，
故函数f（x）在x∈R上的图象如图所示，
方程f（x）=

1

2

共有五个实根，最左边两根之和为-6，
最右边两根之和为6，中间的一个根满足log₂（1-x）=

1

2

，
即x=1-

2

，故所有根的和为1-

2

．
故答案为：1-

2

．

根据奇函数f（x）在x≥0时时的解析式，求出x＜0时函数的解析式，结合图象及其对称性得，左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，中间的一个根1-

2

，从而得到答案．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题考查分段函数的意义，求函数解析式，利用函数图象的性质，体现数形结合的数学思想．