题目

已知平面a与平面b相交于直线l,平面a垂直于平面c,...
已知平面a与平面b相交于直线l,平面a垂直于平面c,平面b垂直于平面c,平面a,b又同平行于直线d.求证：直线d垂直平面c.

提问时间：2020-10-03

答案

这道题变相的等于求证
一平面与两相交平面都垂直,这两平面的交线垂直于第一个平面
一直线与两相交平面都平行,这两平面的交线平行于这一条直线
书放下太久了,不知道这两个结论是不是书上的推论,如果是,就不用在证明了,如果不是,证明如下.
由题意可知,这三个平面的三条交线汇聚一通一个交点.
因为三平面相交,三条交线要么彼此平行,要么汇聚于一点,
如果三条交线相互平行,那么不可能有一个平面能同时垂直于另外两个平面,因为如此则另外连个平面相互平行,不可能相交.
所以三平面两两相交,而其中一个平面垂直于另外两个平面,这三条交线必然相交于一点.
如果面a与面b的交线不垂直于面c,这过这三条交线的交点o,可以再面a内做一条垂线oa垂直于面c,在面b内做一条垂线ob垂直于面c,则过面c同一点o有两条线垂直于面c,这是不可能的,所以oa和ob必然重合,而这条垂线同是属于面a和面b,则这条垂线必然是面a和面b的交线
所以面a和面b的交线l必然垂直于面c
面a与面b相较于l,直线d平行于面a与面b,
则过直线d做一面e交面a与x交面b与y,直线x,y,d相互之间都是平行的
而刚刚说过,三面两两相交的三条交线,要么平行,要么相交于一点
面a、面b和面e两两相交的三条交线l,x,y,因为x和y平行,所以不可能相交于一点了,只能相互平行
所以l平行于x平行于y,所以l平行于d
证明完了,有了这两个推论,直线d垂直于面c就证明了