题目

已知集合A={x|x²-3x+2≤0}，集合B为函数y=x²-2x+a的值域，集合C={x|x²-ax-4≤0}，命题p：A∩B≠∅；命题q：A⊆C．
（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-02

答案

∵y=x²-2x+a=（x-1）²+a-1≥a-1
∴A={x|x²-3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x²-ax-4≤0}，
（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅
∴a-1＞2
∴a＞3
（2）∵命题p∧q为真命题命题
∴p，q都为真命题
即A∩B≠∅且A⊆C．
∴

a−1≤2 1−a−4≤0 4−2a−4≤0

解可得0≤a≤3

由题意可得A={x|1≤x≤2}，B={y|y≥a-1}，C={x|x²-ax-4≤0}，
（1）由命题p为假命题可得A∩B=∅，可求a
（2）由题意可得A∩B≠∅且A⊆C，结合集合之间的基本运算可求a的范围

本题考点：复合命题的真假；集合关系中的参数取值问题．

考点点评：本题考查解决二次不等式的求解，二次函数值域的求解，集合的基本运算及复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．