题目

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>0,b>0)的一个焦点是F2（2,0）且b=根号3a.（1）求双曲线C的方程 （2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为（m,1）,当直线l与双曲线C的右支相交雨A,B不同的两点时,求实数m的取值范围：并证明AB重点M在曲线3（x-1）^2-y^2=3上（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点.问是否有实数m,使角AOB为锐角?若存在,求出m的范围,若不存在,说明理由

提问时间：2020-09-30

答案

（1）c=2c^2=a^2+b^2
∴4=a^2+3a^2∴a^2=1,b^2=3,∴双曲线为 x^2-y^2/3=1．
（2）l：m（x-2）+y=0由 {y=-mx+2m
x^2-y^2/3=1
得（3-m^2）x^2+4m^2x-4m^2-3=0
由△＞0得4m^4+（3-m^2）（4m^2+3）＞0
12m^2+9-3m^2＞0即m^2+1＞0恒成立
又{x1+x2＞0
x1•x2＞0
4m^2/(m^2-3)＞0
(4m^2+3)/(m^2-3)＞0
∴m^2＞3∴ m∈(-∞,-根号3)∪(根号3,+∞)
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 （x1+x2）/2=(2m^2/m^2-3)(y1+y2)/2=-2m^3/(m^2-3)+2m=-6m(m^2-3)
∴ AB中点M(2m2m2-3,-6mm2-3)
∵ 3[(2m^2)/(m^2-3)-1]^2-36m^2/[(m^2-3)^2]=3
∴M在曲线3（x-1）^2-y^2=3上．
（3）A（x1,y1）,B（x2,y2）,设存在实数m,使∠AOB为锐角,则OA→•OB→＞0
∴x1x2+y1y2＞0
因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m^2x1x2-2m^2（x1+x2）+4m^2
∴（1+m^2）x1x2-2m^2（x1+x2）+4m^2＞0
∴（1+m^2）（4m^2+3）-8m^4+4m^2（m^2-3）＞0即7m^2+3-12m^2＞0
∴ m^2＜35,与m^2＞3矛盾
∴不存在