题目

从数字1、3、5、7、9中任选三个,从0、2、4、6、8中任选两个,可以组成多少个
(1)没有重复数字的五位数；
(2)没有重复数字的五位偶数；
(3)没有重复数字的能被4整除的五位数.

提问时间：2020-09-30

答案

（1）两种方法,一是求出所有形式上的五位数,再减去 0 在最高位的情形；
C(5,3)*C(5,2)*A(5,5)-C(5,3)*C(1,1)*C(4,1)*A(1,1)*A(4,4)
=10*10*120-10*1*4*1*24=11040 个.
二是分类,分两类,一类是取出的五个数中没有 0 ,一类是取出的数中有 0 ,
第一类共有 C(5,3)*C(4,2)*A(5,5)=7200 个,
第二类共有 C(5,3)*C(1,1)*C(4,1)*A(4,1)*A(4,4)=3840 个,
所以共有 7200+3840=11040 个.
（2）一个整数是偶数的充要条件是个位为偶数,
所有形式上的偶数有 C(5,3)*C(5,2)*A(2,1)*A(4,4)=10*10*2*24=4800 个 ,
0 在最高位的偶数有 A(1,1)*A(4,1)*A(5,3)=1*4*60=240 个,
因此五位偶数有 4800-240=4560 个.
（3）一个数能被 4 整除的充要条件是后两位能被 4 整除 ,
因此,0、4、8 在个位时十位必为偶数,2、6 在个位时十位必为奇数,
第一类有 A(3,1)*A(4,1)*A(5,3)=3*4*60=720 个；
第二类有 A(2,1)*A(5,1)*[C(4,2)*C(4,1)*A(3,3)-A(1,1)*A(4,2)]=2*5*(6*4*6-1*12)=1320 个,
因此共有 720+1320=2040 个 .