题目

已知函数f（x）=ax³+bx+c在点x=2处取得极值c-16．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[-3，3]上的最小值．

提问时间：2020-09-18

答案

（Ⅰ）由题f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函数在点x=2处取得极值c-16
∴

f′(2)＝0 f(2)＝c−16

，即

12a+b＝0 8a+2b+c＝c−16

，化简得

12a+b＝0 4a+b＝−8

解得a=1，b=-12
（II）由（I）知f（x）=x³-12x+c，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）
令f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）=0，解得x₁=-2，x₂=2
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（-∞，-2）上为增函数；当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；
由此可知f（x）在x₁=-2处取得极大值f（-2）=16+c，f（x）在x₂=2处取得极小值f（2）=c-16，
由题设条件知16+c=28得，c=12
此时f（-3）=9+c=21，f（3）=-9+c=3，f（2）=-16+c=-4
因此f（x）在[-3，3]上的最小值f（2）=-4

（Ⅰ）由题设f（x）=ax³+bx+c，可得f′（x）=3ax²+b，又函数在点x=2处取得极值c-16，可得

f′(2)＝0 f(2)＝c−16

解此方程组即可得出a，b的值；
（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[-3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[-3，3]上的最小值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c-16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c-16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．