题目

函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R，则实数m的取值范围是______．

提问时间：2020-09-18

答案

函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R，
说明对任意实数x，mx²-4mx+m+3＞0恒成立，
当m=0时，mx²-4mx+m+3＞0化为3＞0恒成立，
当m≠0时，要使对任意实数x，mx²-4mx+m+3＞0恒成立，
则

m＞0                            ① (−4m)2−4m(m+3)＜0②

，
解②得：0＜m＜1．∴不等式组的解集为（0，1）．
综上，函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R的实数m的取值范围是[0，1）．
故答案为[0，1）．

函数y=lg（mx²-4mx+m+3）的定义域为R，说明对任意实数x，mx²-4mx+m+3＞0恒成立，然后分m=0和m≠0讨论，m=0时，对数型函数的真数恒大于0，m≠0时，需要二次三项式对应的函数开口向上，且判别式小于0，最后把m=0和m≠0时求得的范围取并集．

本题考点：函数的定义域及其求法．

考点点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想，考查了利用“三个二次”求解参数得取值范围，是基础题．