题目

谁能帮我证明函数的有界性与最大值最小值定理
闭区间上连续函数的性质定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值最小值.此定理用图是很好理解,希望有人能用数学语言给与证明,

提问时间：2020-09-18

答案

证明极值定理的基本步骤为：
1.证明有界性定理.
2.寻找一个序列,它的像收敛于f的最小上界.
3.证明存在一个子序列,它收敛于定义域内的一个点.
4.用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界.
有界性定理的证明
假设函数f在区间[a,b]内没有上界.那么,根据实数的阿基米德原理,对于每一个自然数n,都存在[a,b]内的一个xn,使得f(xn) > n.这便定义了一个序列{xn}.由于[a,b]是有界的,根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一个收敛的子序列{x_{n_k}}.把它的极限记为x.由于[a,b]是闭区间,它一定含有x.因为f在x处连续,我们知道{f(x_{n_k})}收敛于实数f(x).但对于所有的k,都有f(x_{n_k}) > nk ≥ k,这意味着{f(x_{n_k})}发散于无穷大.得出矛盾.因此,f在[a,b]内有上界.证毕.
极值定理的证明
我们现在证明函数f在区间[a,b]内有最大值.根据有界性定理,f有上界,因此,根据实数的戴德金完备性,f的最小上界M存在.我们需要寻找[a,b]内的一个d,使得M = f(d).设n为一个自然数.由于M是最小上界,M – 1/n就不是f的最小上界.因此,存在[a,b]内的dn,使得M – 1/n < f(dn).这便定义了一个序列{dn}.由于M是f的一个上界,我们便有M – 1/n < f(dn) ≤ M,对于所有的n.因此,序列{f(dn)}收敛于M.
根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理,可知存在一个子序列{d_{n_k}},它收敛于某个d,且由于[a,b]是闭区间,d位于[a,b]内.因为f在d处连续,所以序列{f(d_{n_k})}收敛于f(d).但{f(d_{n_k})}是{f(dn)}的一个子序列,收敛于M,因此M = f(d).所以,f在d处取得最小上界M.证毕.