题目

已知幂函数f（x）=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值集合．

提问时间：2020-09-15

答案

（1）∵幂函数f（x）=x−2m2+m+3(m∈Z) 为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．
∴

−2m2+m+3为偶数 −2m2+m+3＞0

，解得m=1，此时f（x）=x²．
（2）由（1）可知：g(x)＝loga(x2−ax)（a＞0，且a≠1）．
∵x²-ax＞0，∴x（x-a）＞0，∴0＞x或x＞a，∴函数g（x）的定义域为{x|a＜x或x＜0}，且g(x)＝loga[(x−

a

2

)2−

a2

4

]．
①当a＞1时，g（u）=log_au在区间（0，+∞）上单调递增，
∵已知函数g（x）在区间[2，3]上为增函数，
且函数y=(x−

a

2

)2−

a2

4

在区间(

a

2

，a)上单调递增，
∴

a

2

≤2，∴a≤4，
∵a＞1，∴1＜a≤4．
②当0＜a＜1时，g（u）=log_au在区间（0，+∞）上单调递减，
∵已知函数g（x）在区间[2，3]上为增函数，
当满足函数y=(x−

a

2

)2−

a2

4

在区间(0，

a

2

)上单调递减时适合要求，
∴3≤

a

2

，解得a≥6，而0＜a＜1，故无解．
综上可知：实数a的取值集合是{a|1＜a≤4}．

（1）利用函数的奇偶性和幂函数的单调性即可求出；
（2）利用二次函数、对数函数和复合函数的单调性即可求出．

本题考点：幂函数的性质；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：充分理解幂函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数单调性是解题的关键．