题目

可导函数的导函数未必连续,是不是与左右导数存在且相等的条件矛盾?
设f(x)在（a,b）可导,如果f'(x)在（a,b）有间断点,
那么间断点Xo（属于（a,b））的存在
与f（Xo）可导的充要条件 “f（Xo）的左右导数存在且相等” 是不是矛盾了?
ps：关于f(x)在（a,b）可导,而其导函数未必连续这一点我明白,并且诸如分段函数的例子我也知道.
希望能给出详细证明,能有例子最好了 ,

提问时间：2020-09-04

答案

函数的导函数未必连续与函数左右导数存在且相等的条件不矛盾的.
函数的左右导数存在且相等是一个极限过程,和该点的导数值并无直接联系,意思就是说对于导函数f‘（x）,他在x0点比如说间断,但是其左右极限均存在,也就是说左右极限存在但是不等于此点的函数值,于是根据原函数存在定理,此函数是可积分的,于是原函数是连续的,也是可导的,但是其导函数不连续,左右导数却存在且相等.