题目

证明：（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．

提问时间：2020-09-03

答案

证明：令y+z-2x=a，①
z+x-2y=b，②
x+y-2z=c，③
则要证的等式变为
a³+b³+c³=3abc．
联想到乘法公式：
a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca），
∴将①，②，③相加有：a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，
∴a³+b³+c³-3abc=0，
∴（y+z-2x）³+（z+x-2y）³+（x+y-2z）³=3（y+z-2x）（z+x-2y）（x+y-2z）．