题目
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1⊥底面ABCD，AB=2，AA1=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B1C1中点．
（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；
（2）设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin（α+β）的值．
（1）求证：平面A1ED⊥平面A1AEF；
（2）设二面角A1-ED-A的大小为α，直线AD与平面A1ED所成的角为β，求sin（α+β）的值．
提问时间：2020-08-31
答案
（1）证明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，
又由AE∩AA1=A，∴ED⊥平面AA1EF，
又∵ED⊂平面A1ED，
∴平面A1ED⊥平面A1AEF．
（2）∵ED⊥平面A1AEF，∴A1E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A1ED为二面角A1-ED-A的平面角，∴∠A1EA=α，
∴sinα=
＝
∴△ABC为等边三角形，∠AEB=60°，
△CDE中，∠CED=30°，∴AE⊥ED，
∵AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥ED，
又由AE∩AA1=A，∴ED⊥平面AA1EF，
又∵ED⊂平面A1ED，
∴平面A1ED⊥平面A1AEF．
（2）∵ED⊥平面A1AEF，∴A1E⊥ED，AE⊥ED，
∴∠A1ED为二面角A1-ED-A的平面角，∴∠A1EA=α，
∴sinα=
| AA1 |
| A1E |
2
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