题目

如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程kx+b-

m

x

=0的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式kx+b-

m

x

＜0的解集（请直接写出答案）．

提问时间：2020-08-31

答案

（1）∵B（2，-4）在函数y=

m

x

的图象上，
∴m=-8．
∴反比例函数的解析式为：y=-

8

x

．
∵点A（-4，n）在函数y=-

8

x

的图象上，
∴n=2，
∴A（-4，2），
∵y=kx+b经过A（-4，2），B（2，-4），
∴

−4k+b＝2 2k+b＝−4

，解之得：

k＝−1 b＝−2

．
∴一次函数的解析式为：y=-x-2．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=-2．
∴点C（-2，0），
∴OC=2．
∴S_△AOB=S_△ACO+S_△BCO=

1

2

OC•n+

1

2

OC×4=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6．
（3）方程kx+b-

m

x

=0的解，相当于一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的交点的横坐标，
即x₁=-4，x₂=2．
（4）不等式kx+b-

m

x

＜0的解集相当于一次函数y=kx+b的函数值小于反比例函数y=

m

x

的函数值，
从图象可以看出：-4＜x＜0或x＞2．

根据待定系数法就可以求出函数的解析式；求函数的交点坐标就是求函数的解析式组成的方程组；求方程kx+b-

m

x

=0的解即是求函数y=kx+b以函数y=

m

x

的交点的横坐标．

本题考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

考点点评：本题是一个函数与方程，不等式相结合的题目，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键．