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题目
如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=
m
x
的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求方程kx+b-
m
x
=0的解(请直接写出答案);
(4)求不等式kx+b-
m
x
<0的解集(请直接写出答案).

提问时间:2020-08-31

答案
(1)∵B(2,-4)在函数y=
m
x
的图象上,
∴m=-8.
∴反比例函数的解析式为:y=-
8
x

∵点A(-4,n)在函数y=-
8
x
的图象上,
∴n=2,
∴A(-4,2),
∵y=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),
−4k+b=2
2k+b=−4
,解之得:
k=−1
b=−2

∴一次函数的解析式为:y=-x-2.
(2)∵C是直线AB与x轴的交点,∴当y=0时,x=-2.
∴点C(-2,0),
∴OC=2.
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=
1
2
OC•n+
1
2
OC×4=
1
2
×2×2+
1
2
×2×4=6.
(3)方程kx+b-
m
x
=0的解,相当于一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=
m
x
的图象的交点的横坐标,
即x1=-4,x2=2.
(4)不等式kx+b-
m
x
<0的解集相当于一次函数y=kx+b的函数值小于反比例函数y=
m
x
的函数值,
从图象可以看出:-4<x<0或x>2.
根据待定系数法就可以求出函数的解析式;求函数的交点坐标就是求函数的解析式组成的方程组;求方程kx+b-
m
x
=0的解即是求函数y=kx+b以函数y=
m
x
的交点的横坐标.

反比例函数与一次函数的交点问题.

本题是一个函数与方程,不等式相结合的题目,正确理解函数的图象的坐标,函数与自变量的关系是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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