题目

直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,AB=AC=AA1=2,角BAC=120°,则球O的表面积等于?

提问时间：2020-08-28

答案

① 在△ABC中,分别作AB、BC的垂直平分线,交于点D,连接BD,
则DA=DB=DC,∴D为△ABC的外接圆圆心
又∵AB=AC=2,则△ABC为等腰△
线段AD平分BC,也平分∠CAB（120°）,
∴∠DAB＝60°
又∵DA=DB
∴△ DAB为含一个内角为60°的等腰三角形,则为等边三角形,
则有AB=AD=BD=2
② △A’B’C’中,分别作A’B’、B’C’的垂直平分线,交于点D’,
则D’为△A’B’C’的外接圆圆心.
连接DD’,则DD’为直三棱柱ABC-A’B’C’的外接球轴心.
DD’=AA’=2,取DD’的中点O,则O为球心,OD=1.
连接OA,OA为球的半径R.
而在直角△ADO中,AD=2,DO=1,则OA=根号5
③球的表面积为4πRR =4π（根号5的平方）=20π