题目

设分段函数f（x）=（x-1）^2,当x≤1；1/1-x,当x＞1.求f（f（x））的表达式?

提问时间：2020-08-28

答案

这是一个分段函数,所以求解析式必须要考虑到对于外层函数而言的定义域问题,而外层函数的定义域,即为内层函数(f(x))的值域,所以本题上来需要先考虑这个问题
很显然当x＞1时,f(x)=1/1-x＜0,此时f(x)必然≤1,
∴我们只需要讨论当f(x)=(x-1)²≤1,并且x≤1的时候的问题,这个部分是本题的关键
解得0≤x≤1,
本题f(f(x))的表达式分为三段,
当x＞1时,f(x)=1/(1-x)＜0,此时f(f(x))=(1/(1-x)-1)²=（x/1-x)²
当0≤x≤1时,f(x)=(x-1)²≤1,此时f(f(x))=((x-1)²-1)²=(x²-2x)²
当x＜0时,f(x)=（x-1)²,此时f(f(x)=1/(1-(x-1)²)=1/(2x-x²)