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题目
若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+
1
2
a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 ___ .

提问时间:2020-08-26

答案
|2x-1|+|x+2|=
-3x-1,x<-2
-x+3,-2≤x≤
1
2
3x+1,x>
1
2

∴x=
1
2
时,|2x-1|+|x+2|的最小值为
5
2

∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+
1
2
a+2对任意实数x恒成立,
∴a2+
1
2
a+2≤
5
2

∴a2+
1
2
a-
1
2
≤0,
∴-1≤a≤
1
2

∴实数a的取值范围是[-1,
1
2
].
故答案为:[-1,
1
2
].
利用绝对值的几何意义,确定|2x-1|+|x+2|的最小值,然后让a2+
1
2
a+2小于等于它的最小值即可.

绝对值不等式的解法.

本题考查绝对值不等式的解法,突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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