题目

高中数学函数f(x)=a(x-1)^2+lnx,a属于R
若函数f(x)=a(x-1)^2+lnx的图像与直线y=x至少有一个交点,求实数a的取值范围
更具体的解答过程和最后结果

提问时间：2020-08-12

答案

设g(x)=a(x-1)^2+lnx-x.只需满足存在g(x)=0即有交点.
g'(x）=2a（x-1)+1/x-1
g''(x)=2a-1/x^2为在定义域（0,无穷）为递增函数.
若a为负,则g''恒负,g'递减.g'（1）=0.所以g(x)在（0,1）递增,（1,无穷）递减.g(x)最大值为g(1)=-1.不存在g(x)=0点.
若a=0,即g(x)=lnx-x.由图像知必有交点.
若a为正,则（0,根号1/2a）上g''=0,即可函数f(x)=a(x-1)^2+lnx的图像与直线y=x至少有一个交点.