题目

若p₁p₂=2（q₁+q₂），证明：关于x的方程x²+p₁x+q₁=0与方程x²+p₂x+q₂=0中，至少有一个方程有实数根．

提问时间：2020-08-10

答案

假设原命题不成立，
即x²+p₁x+q₁=0与x²+p₂x+q₂=0
∴△₁=p₁²-4q₁＜0，△₂=p₂²-4q₂＜0
两式相加得：
p₁²+p₂²-4q₁-4q₂＜0，即p₁²+p₂²＜4（q₁+q₂）
又∵p₁p₂=2（q₁+q₂），∴p₁²+p₂²＜2p₁p₂
即：（p₁-p₂）²＜0，此式显然不成立．
故假设不成立，原命题是正确的．