题目

设A和B为抛物线y^2=4x上除原点外的动点,已知OA,⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程

提问时间：2020-08-10

答案

设A(m^2,2m),B(n^2,2n).m,n≠0
因为OA⊥OB,所以m^2*n^2+2m*2n=0,所以mn=-4
直线AB斜率K=(2m-2n)/(m^2-n^2)=2/(m+n)
设直线AB方程为y=Kx+b,过A(m^2,2m)
所以直线AB方程为A(m^2,2m),所以y=[2/(m+n)]x+[2mn/(m+n)]
即y=[2/(m+n)]x+[-8/(m+n)],恒过(4,0),K≠0
则直线AB方程为y=K(x-4)...1式
因为OM⊥AB,所以直线OM斜率为-1/K,所以直线OM方程为y=(-1/K)x...2式
联立1,2式得x=4K^2/(K^2+1),y=-4/(K^2+1),x/y=-K≠0,所以x≠0
M点坐标(4K^2/(K^2+1),-4/(K^2+1))
所以x=4(x/y)^2/[(x/y)^2+1].化简得x^2+y^2-4x=0(x≠0) 即为M点轨迹