题目

是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除?
是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3^n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出m的最大值,并证明你的结论；若不存在,请说明理由
我求得m最大值为36 然后用数学归纳法证明
但是不知道怎样把(2k+9)·3^(k+1)+9化为与(2n+7)·3^n+9有关的式子,然后得证可以被整除

提问时间：2020-08-10

答案

(2k+9)·3^(k+1)+9=(2k+7)*3^(k+1)+2*3^(k+1)+9
=(2k+7)*3^k+9+2*(2k+7)*3^k+2*3^(k+1)
=(2k+7)*3^k+9+2*3^k*(6k+21+3)
=(2k+7)*3^k+9+12*3^k*(k+4)
由归纳假设(2k+7)*3^k+9被36整除,而12*3^k*(k+4)被12*3^k(为36的倍数)整除