题目
已知f(x)=(x2+ax+a)e-x(a≤2,x∈R).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)是否存在实数a,使f(x)的极大值为3?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
提问时间:2020-08-10
答案
(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)e-x;f′(x)=e-x(-x2+x)(2分)
当f′(x)>0时,0<x<1.当f′(x)<0时x>1或x<0
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),
单调递减区间为(-∞,0)(1,+∞)(4分)
(2)f′(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x](6分)
令f′(x)=0,得x=0或x=2-a,列表如下:
由表可知f(x)极大=f(2-a)=(4-a)ea-2(8分)
设g(a)=(4-a)ea-2,g′(a)=(3-a)ea-2>0(10分)
∴g(a)在(-∞,2)上是增函数,∴g(a)≤g(2)=2<3∴(4-a)ea-2≠3
∴不存在实数a使f(x)最大值为3.(12分)
当f′(x)>0时,0<x<1.当f′(x)<0时x>1或x<0
∴f(x)的单调递增区间为(0,1),
单调递减区间为(-∞,0)(1,+∞)(4分)
(2)f′(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x](6分)
令f′(x)=0,得x=0或x=2-a,列表如下:
由表可知f(x)极大=f(2-a)=(4-a)ea-2(8分)
设g(a)=(4-a)ea-2,g′(a)=(3-a)ea-2>0(10分)
∴g(a)在(-∞,2)上是增函数,∴g(a)≤g(2)=2<3∴(4-a)ea-2≠3
∴不存在实数a使f(x)最大值为3.(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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