题目

已知三角形的一个角和对边,求三角形面积的最大值的问题
设A为锐角三角形ABC的一个内角,BC＝2,cos2A=-7/25,求三角形ABC面积S的最大值.
这个怎么做?我尝试了用正弦定理得到S关于角B的关系式,可以得到结果,但是那样做过于繁琐,各位有没有什么简便的方法?
我就是那么做的,我是问没有比这更简便的方法吗?

提问时间：2020-08-10

答案

这里给你提供一个几何方法供你参考.
定理：如果三角形ABC的BC边长不变,∠A等于已知角（即大小不变）,则A点的轨迹为以BC为弦,所含圆周角等于已知角的圆弧.（实际上是关于BC对称的两条圆弧,对于本问题,由于对称性,可以只关心其中一条圆弧）.
因为题设△ABC是锐角三角形,由cos2A=-7/25可证明∠A大小是确定的,因此A点在以BC为弦的一条圆弧上.显然,当A沿圆弧移动到BC的垂直平线上时,BC上的高取得最大值,从而三角形ABC的面积也取得最大值.容易根据半角公式及解三角形求得此时BC上的高等于2,所以△ABC的最大值为(1/2)·2·2=2.