题目

已知函数f(x)＝−

1

3

x3+

1

2

ax2−3x，g（x）=xlnx
（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）在区间[t，t+1]（t>0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[

1

e

，e]（x₁≠x₂），使方程f′（x）=2g（x）成立，求实数a的取值范围（其中e=2.71828…是自然对数的底数）

提问时间：2020-08-10

答案

（Ⅰ）f'（x）=-x²+ax-3…（1分）
当a=4时，f'（x）=-x²+4x-3，令f'（x）>0得1<x<3…（2分）
∴当a=4时，f（x）的单调增区间为（1，3），单调减区间为（-∞，1），（3，+∞）．…（3分）
（Ⅱ）g'（x）=lnx+1，令g'（x）>0，得x>

1

e

…（4分）
①当t≥

1

e

时，在区间[t，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，
∴g（x）_min=g（t）=tlnt…（5分）
②当0<t<

1

e

时，在区间[t，

1

e

)上g'（x）<0，g（x）为减函数，…（6分）
在区间(

1

e

，t+1]上g'（x）>0，g（x）为增函数，…（7分）
∴g(x)min＝g(

1

e

)＝−

1

e

…（8分）
（III） 由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx
∴a＝x+2lnx+

3

x

，…（9分）
令h(x)＝x+2lnx+

3

x

，则h′(x)＝1+

2

x

−

3

x2

＝

(x+3)(x−1)

x2

…（10分）

x	( 1 e ，1)	1	（1，e）
h'（x）	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值	单调递增

…（12分）
h(

1

e

)＝

1

e

+3e−2，h（1）=4，h(e)＝e+2+

3

e

h(e)−h(

1

e

)＝4−2e+

2

e

<0…（13分）
∴实数a的取值范围为(4，e+2+

3

e

]…（14分）

（Ⅰ）当a=4时，求导函数，利用导数的正负，可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）分类讨论，确定函数g（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的单调性，即可求出函数的最小值；
（Ⅲ）由f'（x）=2g（x）可得-x²+ax-3=2xlnx，分离参数，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，正确求导是关键．