题目

已知函数f(x)=|x^-1|+x^2+kx,且定义域为（0,2)
（1）求关于X的方程f(x)=kx+3在(0,2)上的解
(2)若f(x)是定义域(0,2)上的单调函数,求实数k的取值范围
（3）若关于x的方程f(x)=0在（0,2)上有两个不同的解x1,x2,求k的取值范围

提问时间：2020-08-08

答案

分情况将题目中的绝对值符号去掉,当X在（0,1）上时,f(x)=kx+1,当X在【1,2）上时,f(x)=2X^2+kx-1,这是一个分段函数
(1)在两个区间分别把f(x)=……带入方程f(x)=kx+3,那么可以得到当X在（0,1）上时,无解,当X在【1,2）上时,X=根号2.解决
（2）当X在【1,2）时,函数是二次函数,有对称轴X=-k/4,所以要保持函数在整个定义域上递增或递减必须对称轴在x=1的左边或者在x=2的右边.第一种情况,单调递增,已知当X在（0,1）上时,f(x)=kx+1,那么因为递增,所以K大于0（等于0的话,f(x)=1是常数,递增不成立）,那么显然对称轴X=-k/4在x=0的左边,那么f(x)=2X^2+kx-1肯定在【1,2）也是递增的.所以k>0.
第二种情况,递减,那么k0或者k小于等于-8
（3）如果k=0,那么当X在（0,1）上时,f(x)=kx+1=1,X在【1,2）时,f(x)=2X^2-1=0的两个解都不在定义域上,所以k不等于0.
将二次函数f(x)=0,将两个A1,A2列出来,求根公式列出来即-k+-根号（k的平方+8）/4
一次函数与x轴的交点就是一个解,即-k/1,分情况讨论
（1）一次函数在（0,1）上与x轴有交点,那么得到k小于等于-1.那么二次函数的对称轴就在x=1/4的右边,另外一个解就是二次函数与x轴的一个交点.
如果对称轴在x=-k/4在的x=1的左边,那么另外一个解一定是A2,列出式子-k-根号（k的平方+8）/4属于【1,2）,得到k大于等于-3.5,所以可以知道-3.5《k《-1
如果对称轴在x=-k/4在的x=2的右边,那么k《-8那么另外一个解一定是A1,同样列式知道,k《-3.5,或》3.5,所以k《-8
（2）一次函数在（0,1）上与x轴没有交点,那么k>-1,那么二次函数的对称轴就在x=1/4的左边,显然这样二次函数的两个解A1和A2不可能全在【1,2）上,故舍去
自己综述一下喽,