题目

已知函数f(x)=(1-x)/(ax) + lnx.
(1)若a≥1,证明函数f(x)在[1,+∞）上为增函数
(2)当a=1时,求证：对大于1的正整数n,ln(n/(n-1))>1/n
第一问不必回答了
第二问我把左边化成：lnn-ln(n-1),移项,lnn-ln(n-1)-1/n
就是证lnn-ln(n-1)-1/n>0,但左边导数小于零,好像证不到,

提问时间：2020-08-08

答案

这样的题要利用第一问的结果
a=1,f(x)=(1-x)/x + lnx
对大于1的正整数n有n/(n-1)>1,函数在[1,+∞）上为增函数
f(n/(n-1))=ln(n/(n-1))-1/n
而f(1)=0,∴f(n/(n-1))>0
即ln(n/(n-1))-1/n>0
ln(n/(n-1))>1/n