题目

证明题：双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积都等于2a方

提问时间：2020-08-08

答案

明：由XY=a得 Y=a/X
其导数为 Y'=-a^2/X^2
设M(X0,Y0)是双曲线XY=a方上任意一点处切线的切点
∴切线方程为 (Y-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
令Y=0 求X轴上的截距X
(0-Y0)/(X-X0)=-a^2/X0^2
X-XO=Y0*X0^2/a^2=X0*Y0*X0/a^2
∵X0*Y0=a^2
∴X=a^2*X0/a^2+X0=2X0
令X=0 求Y轴上的截距Y
(Y-Y0)/(0-X0)=-a^2/X0^2
Y-YO=X0*a/X0^2=a^2/X0
∵X0*Y0=a^2
∴Y0=a^2/X0
∴Y=Y0+a^2/X0=a^2/X0+a^2/X0=2a^2/X0
从而 双曲线XY=a方上任意一点处切线与双坐标轴构成三角形面积=1/2*X*Y=1/2*2X0*2a^2/X0=2a^2