题目

求函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（(a≤2(e-1)²)）在区间[e,e²]上的最小值．
e²-4e+2-a）
如何不用分类讨论,就用特值法?

提问时间：2020-08-08

答案

f（x）=x²-4x+（2-a）lnx
f′（x）=2x-4+（2-a）/x
令 f′（x）=2x-4+（2-a）/x=0
即2x+（2-a）/x=4
x²-2x+1=a/2
因为a≤2(e-1)²
所以 （x-1）²≤(e-1)²
即当 x≤e 时 函数f（x）=x²-4x+（2-a）lnx有极值点
且当 x≥e时 a≤2(e-1)² f′（x）≥0
所以
f（x）=x²-4x+（2-a）lnx在区间[e,e²]上是增函数
所以有f（x）min=f（e）=e²-4e+（2-a）