题目

三角形内心与顶点连线的平方与三边关系
已知三角形ABC,对边为a,b,c,它的内心到A,B,C的距离分别为l,m,n
求证al2+bm2+cn2=abc

提问时间：2020-08-07

答案

题目写的很清楚,是楼上理解有问题
根据海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,其中p为半周长,即p=(a+b+c)/2
设三角形内切圆半径为r,则S=pr,所以r=√[(p-a)(p-b)(p-c)/p]
从内心O引三边的垂线,把三角形分成六个直角三角形,同时把每条边都分成两部分：例如把a分成(p-b)和(p-c),根据勾股定理：
l²=(p-a)²+r²=(p-a)²+(p-a)(p-b)(p-c)/p=……=(p-a)bc/p
m²=(p-b)²+r²=(p-b)²+(p-a)(p-b)(p-c)/p=……=(p-b)ac/p
n²=(p-c)²+r²=(p-c)²+(p-a)(p-b)(p-c)/p=……=(p-c)ab/p
al²+bm²+cn²=(p-a)abc/p + (p-b)abc/p + (p-c)abc/p
=(p-a+p-b+p-c)abc/p
=(3p-2p)abc/p
=abc