题目

已知实数x,y满足x2+y2=4,求x+y的取值范围

提问时间：2020-08-07

答案

几年级了?学过什么知识?此题可用代数法,也可用几何法,还可用三角法.
都提供给你吧,供参考.

（1）纯代数法
由于(x+y)²=x²+2xy+y²=4+2xy≤4+x²+y²=8
所以-2√2≤x+y≤2√2　等号在x=y时取得.

（2）平面几何法
由于x²+y²=4,可构造直角三角形,使两直角边分别为x和y,斜边为2
则平面几何知识知道：当直角三角形斜边为定值,则两直角边之和相等时有最小值
本题斜边为2,则x=y=√2时,x+y最小为2√2
考虑到原题中x,y可取负值,故得出
-2√2≤x+y≤2√2　等号在x=y时取得　

（3）三角函数法
由于x²+y²=4,可设x=2cost,y=2sint,
则x+y=2√2sin(t+π/4)　
由于-1≤sin(t+π/4)≤1
故得出
-2√2≤x+y≤2√2　等号在t=π/4,即x=y时取得