题目

高数 极限 lim(x→0)[1/ln(1+x)-1/x]
今天小弟遇到一道高数不会希望得到大家的帮助
lim(x→0)[1/ln(1+x)-1/x] 在我的记忆中当x→0的时候ln(1+x) 如果是这样的话此题便可化简为lim(x→0)[1/x-1/x]了 答案应该为0
lim(x→0)[1/ln(1+x)-1/x]
=lim(x→0)[x-ln(1+x)]/xln(1+x)
=lim(x→0)[x-ln(1+x)]/x^2
=lim(x→0)(1-1/(1+x))/2x
=lim(x→0)1/2(1+x)
=1/2
为什么在答案的第三行 分母中的ln(1+x)可以化简为x 但是分子中的ln(1+x)却没有换成x呀 而且小弟的做法为什么不对

提问时间：2020-08-07

答案

等价无穷小替换必须在分子分母同时趋于0或者无穷大时才能使用,也就是说分式必须是未定式,而题目在没有通分前显然不是未定式,当然不能用了.并且,等价无穷小替换不能用在加减法上.
对于等价无穷小的替换问题等你学了泰勒展开以后就会更清楚了,因为一个式子的等价无穷小实际上是其泰勒展开式的相应的低次项