题目

过抛物线y²=2px（p>0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p= ___ ．

提问时间：2020-08-07

答案

由题意可知过焦点的直线方程为y=x-

p

2

，
联立有

y2=2px y=x- p 2

⇒x2-3px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=3p，x₁x₂=

p2

4

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(3p)2-4× p2 4

又|AB|=

(1+12)

(3p)2-4× p2 4

=8求得p=2
故答案为2

抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用配方法求得|x₁-x₂|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．

本题考点：抛物线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．