题目

已知函数y=f(x)=x^2+2x+a/x,x∈[1,＋∞).
(1):当a=1/2时,求函数f(x)的最小值；
(2):若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
y=f(x)=(x^2+2x+a)/x

提问时间：2020-08-07

答案

f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
x∈[1,＋∞).
(1)当a=1/2时,f(x)=x+1/(2x)+2
此函数是对钩函数,在(0,√2/2]递减,在[√2/2,+∞)递增,
∵x∈[1,＋∞).
∴f(x)min=f(1)=1+1/2+2=7/2
(2)对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立,则
f(x)=(x²+2x+a)/x
=x+(a/x)+2
分类讨论：
若a＞0,则对任意x∈[1,＋∞).x+a/x＞0,所以f(x)＞0恒成立
若a=0,则f(x)=x+2,对任意x∈[1,＋∞).f(x)＞0恒成立
若a＜0,则x和a/x在区间[1,+∞)同为增函数,即f(x)是增函数,此时只要f(1)=1+a+2＞0,即a＞-3,即可使得f(x)>0恒成立
综上所述,a的取值范围是(-3,+∞)