题目

已知椭圆

x2

16

+

y2

4

=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=

k

（x-2）与曲线E交于不同的两点M、N，当

AM

•

AN

≥68时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．

提问时间：2020-08-07

答案

（Ⅰ）依题意得：A（-4，0），B（4，0）
∴曲线E的方程为y²=16x．-------（2分）
（Ⅱ）由

y＝ k (x−2) y2＝16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0
由

△＝(4k+16)2−16k2＞0 k＞0

解得：k＞0----------（4分）
设设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：
x1+x2=

4k+16

k

，x1x2=4
∴

AM

•

AN

=（x1+4，y1）（x2+4，y2）=（x1+4）（x2+4）+y1y2
=（k+1）x1x2+（4-2k）（x1+x2）+16+4k=

64

k

+4≥68----------（6分）
∴0＜k≤1，
∴θ∈（0，

π

4

]----------（8分）

（Ⅰ）依题意可求A，B进而可求抛物线E的方程
（Ⅱ）联立方程

y＝ k (x−2) y2＝16x

得：kx²-（4k+16）x+4k=0，根据方程有两个不等的根，结合韦达定理可得k的范围，进而可求θ的范围

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线方程的相交的处理中，要注意方程的根与系数的关系的应用．