题目
已知函数f(x)=(a−
)x2+lnx.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
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(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
提问时间:2020-08-07
答案
解(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
x2+lnx,f′(x)=x+
=
.
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
,fmin(x)=f( 1 )=
(Ⅱ)令g(x)=f(x)−2ax=(a−
)x2−2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a−1)x−2a+
=
=
.
①若a>
,令g'(x)=0,得极值点x1=1,x2=
.
当x2>x1=1,即
<a<1时,在(x2,+∞)上有g'(x)>0.
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
,则有2a-1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0.
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=−a−
≤0⇒a≥−
.
由此求得a的范围是[−
,
].
综合①②可知,当a∈[−
,
]时,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方.
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x |
x2+1 |
x |
对于x∈[1,e],有f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数.
∴fmax(x)=f(e)=1+
e2 |
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2 |
(Ⅱ)令g(x)=f(x)−2ax=(a−
1 |
2 |
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.
∵g′(x)=(2a−1)x−2a+
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x |
(2a−1)x2−2ax+1 |
x |
(x−1)[(2a−1)x−1] |
x |
①若a>
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2a−1 |
当x2>x1=1,即
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此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有g(x)∈(g(x2),+∞),不合题意;
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上,有g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意;
②若a≤
1 |
2 |
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数
要使g(x)<0在此区间上恒成立,只须满足g(1)=−a−
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由此求得a的范围是[−
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综合①②可知,当a∈[−
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(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1,e]上为增函数,所以f(1)为最小值,f(e)为最大值,求出即可;(2)令g(x)=f(x)−2ax=(a−
)x2−2ax+lnx,则g(x)的定义域为(0,+∞).证g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立即得证.求出g′(x)分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出a的范围即可.
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利用导数求闭区间上函数的最值.
考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力.以及综合运用函数解决数学问题的能力.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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