题目

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，已知a₃=11，S₉=153，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n=log₂b_n，证明{b_n}是等比数列，并求其前n项和T_n．

提问时间：2020-08-07

答案

（1）设等差数列的公差为d，
则

a3＝a1+2d＝11 S9＝9a1+ 9×8 2 d＝153

，解之得

a1＝5 d＝3

∴数列{a_n}的通项公式a_n=5+3（n-1）=3n+2；
（2）∵a_n=log₂b_n=3n+2，∴b_n=2an=2³ⁿ⁺²
由此可得b₁=2⁵=32.

bn+1

bn

=

23(n+1)+2

23n+2

=8
∴数列{b_n}的是首项为32，公比为8的等比数列．
因此，可得{b_n}前n项和T_n=

32(1−8n)

1−8

=

32

7

（8ⁿ-1）．

（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项与求和公式，结合题意建立关于a₁与d的方程组，解之得a₁=5且d=3，由此即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据对数的运算性质，可得b_n=2an=2³ⁿ⁺²．由此算出b₁=32且

bn+1

bn

=8（常数），从而得到数列{b_n}的是首项为32，公比为8的等比数列，再用等比数列求和公式加以计算，即可得到{b_n}前n项和T_n的表达式．

本题考点：等比关系的确定；等差数列的前n项和．

考点点评：本题给出等差数列的第3项和前9项之和，求它的通项公式并依此求等比数列{b_n}前n项和．考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式等知识点，属于中档题．