题目
请解释高数定积分证明1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则 ∫(上a下-a)f(x)dx=2∫(上a下0)f(x)dx
求证1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则∫(上a下-a)f(x)dx=2∫(上a下0)f(x)dx
2、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为奇函数,则∫(上a下-a)f(x)dx=0
证明:因为∫(上a下-a)f(x)dx=∫(上0下-a)f(x)dx+∫(上a下0)f(x)dx
对积分∫(上0下-a)f(x)dx做代换x=-t得
∫(上0下-a)f(x)dx=-∫(上0下a)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-x)dx
于是∫(上a下-a)f(x)dx=∫(上a下0)f(-x)dx+∫(上a下0)f(x)dx
=∫(上a下0)〔f(x)+f(-x)〕dx
(1)若f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),则f(x)+f(-x)=2f(x)
从而∫(上a下-a)f(x)dx=2∫(上a下0)f(x)dx
(2)(1)若f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),则f(x)+f(-x)=0
从而∫(上a下-a)f(x)dx=0
请问:其中关键的一步
对积分∫(上0下-a)f(x)dx做代换x=-t得
∫(上0下-a)f(x)dx=-∫(上0下a)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-x)dx
看不懂,其中的t为什么直接就换成x了呢?
求证1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则∫(上a下-a)f(x)dx=2∫(上a下0)f(x)dx
2、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为奇函数,则∫(上a下-a)f(x)dx=0
证明:因为∫(上a下-a)f(x)dx=∫(上0下-a)f(x)dx+∫(上a下0)f(x)dx
对积分∫(上0下-a)f(x)dx做代换x=-t得
∫(上0下-a)f(x)dx=-∫(上0下a)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-x)dx
于是∫(上a下-a)f(x)dx=∫(上a下0)f(-x)dx+∫(上a下0)f(x)dx
=∫(上a下0)〔f(x)+f(-x)〕dx
(1)若f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),则f(x)+f(-x)=2f(x)
从而∫(上a下-a)f(x)dx=2∫(上a下0)f(x)dx
(2)(1)若f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),则f(x)+f(-x)=0
从而∫(上a下-a)f(x)dx=0
请问:其中关键的一步
对积分∫(上0下-a)f(x)dx做代换x=-t得
∫(上0下-a)f(x)dx=-∫(上0下a)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-t)dt=∫(上a下0)f(-x)dx
看不懂,其中的t为什么直接就换成x了呢?
提问时间:2020-08-07
答案
这是定积分独有的特性,这里的t是假变量
∫(a~b) f(x) dx = ∫(a~b) f(u) du = ∫(a~b) f(t) dt = ∫(a~b) f(z) dz
不同于不定积分,定积分是不用回代的,上下限已经做了转变了.
∫(a~b) f(x) dx = ∫(a~b) f(u) du = ∫(a~b) f(t) dt = ∫(a~b) f(z) dz
不同于不定积分,定积分是不用回代的,上下限已经做了转变了.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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