题目

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x≥1时，若关于x的不等式f（x）≥

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x²+（a-3）x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

提问时间：2020-08-06

答案

（I）f′（x）=ex+4x-3则f'（1）=e+1，又f（1）=e-1∴曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程为y-e+1=（e+1）（x-1）即（e+1）x-y-2=0（II）由f（x）≥52x2+（a-3）x+1得ex+2x2-3x≥52x2+（a-3）x+1即ax≤...

（I）欲求在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决；
（II）关于x的不等式f（x）≥

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x²+（a-3）x+1恒成立将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧函数在[1，+∞）上的最值，即可求出所求．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，解决此类问题的方法是将参数a进行分离，属于中档题．