题目

已知函数f(X)对任意X,Y属于R,总有f（X）+f(Y)=f(X+Y),且当X＞0时,f（X）＜0,f（1）=-三分之二
（1）求证：f（-X）=-f（X）
（2）求证：f（X）在R上是减函数
（3）求函数f（X）在【-3,3】上的最大值和最小值
请给出过程思路及结果,

提问时间：2020-10-11

答案

(1)f（X）+f(Y)=f(X+Y),当x=y=0,f（0）=0
当y=-x,f（X）+f(-x)=f(0)=0,
∴f（-X）=-f（X）
（2）设x1>x2,
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
x1-x2>0
∴f(x1-x2)<0
suoyi x1>x2时 f(x1)-f(x2)<0
∴f（X）在R上是减函数
（3）f(0.5)+f(0.5)=f(1)=-2/3
f(0.5)=-1/3
f(1)+f(0.5)=-1=f(1.5)
f(1.5)=f(1.5)=-2=f(3)
又（1）知道,f（-3）=2
又（2）知道,f(x)∈[-2,2]