题目

数列｛an｝的前n项和为Sn=2n²,｛bn｝为等比数列,且a1=b1,b2（a2－a1）=b1,求an和bn的通式,设
设Cn=an／bn,求数列的前n项和Tn

提问时间：2020-08-05

答案

数列｛an｝的通项
an=Sn-S(n-1)=2n2-2(n-1)2=2(n+n-1)(n-n+1)=4n-2
所以：a1=2,a2=6
因为a1=b1,b2（a2－a1）=b1
所以b1=2,b2=1/2
因为｛bn｝为等比数列,所以公比q=b2/b1=1/4
所以｛bn｝为首项是2,公比为1/4的等比数列,通项为：
bn=2×(1/4)^(n-1)
联立an=4n-2,bn=2×(1/4)^(n-1),可得：
Cn=an／bn=（2n-1）×4^(n-1)
故
Tn= 1 + 3×4 + 5×4^2 +7×4^3 +……+ (2n-1)×4^(n-1) →(1)式
(1)式左右两边同时乘以4,得：
4Tn= 4 + 3×4^2 + 5×4^3 +……+(2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n →(2)式
再将（1）（2）两个式子来对比如下,注意上下对齐的两项,除了（1）式的首项和（2）式的尾项外,中间的所有项的指数都错位相同,即4的一次方,二次方直到n-1次方都一一对应.
你还会发现(3-1)=(5-3)=(7-5)=(2n-1)-(2n-3)=2.
Tn= 1 + 3×4 + 5×4^2 +7×4^3 +……+ (2n-1)×4^(n-1) →(1)式
4Tn= 4 + 3×4^2 +5×4^3 +……+ (2n-3)×4^(n-1) + (2n-1)×4^n →(2)式
(1)式减去(2)式,得：
(1-4)Tn=1+ 2×(4+4^2+4^3+……+4^(n-1)) - (2n-1)×4^n (这种方法叫错位相减)
即-3Tn=1+ 2×(4^n-4)/3 - (2n-1)×4^n
即
Tn= (2n-1)×4^n + 2×(4-4^n) -1
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