题目

已知关于x的方程k²x²+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

提问时间：2020-08-05

答案

（1）根据题意得：

△＝(2k−1)2−4k2＞0 k2≠0

，（2分）
∴k＜

1

4

且k≠0；（3分）
（2）假设存在，根据一元二次方程根与系数的关系，
有x₁+x₂=−

2k−1

k2

=0，即k＝

1

2

；（4分）
但当k＝

1

2

时，△＜0，方程无实数根（5分）
∴不存在实数k，使方程两根互为相反数．（6分）

（1）根据一元二次方程的根的情况的判断方法，可得：

△＝(2k−1)2−4k2＞0 k2≠0

，解可得答案；
（2）假设存在，由相反数的意义，即方程的两根的和是0，依据一元二次方程的根与系数的关系即可得到两根的和是−

2k−1

k2

=0，可得k的值；把k的值代入判别式△，判断是否大于0可得结论．

本题考点：根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式．

考点点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．