题目

【高一数学】定义域为（-1,1）上的奇函数f（X）,当x∈（0,1）时,f(x)=(2^x）÷(1+4^x)
①、求f(x)的解析式
②、判断并证明f(x)在其定义域上的单调性
③、当m为何值时,方程f(x)=m在（0,1）上有解

提问时间：2020-08-05

答案

1）因为是奇函数,所以f(0)=0,-1<x<0时,0<-x<1,所以f(-x)=(2^(-x))/(1+4^(-x))=(2^x)/(1+4^x)  因为f(-x)=-f(x),所以,f(x)=-(2^x)/(1+4^x) ,
  综上所述,f(x)=-(2^x)/(1+4^x)   -1<x<0
                 (2^x)/(1+4^x)    0<x<1
                  0    x=0
2)单调递减
因为是奇函数,所以只需要证明一边,设0<a<b<1,则,f（a）-f(b)=(2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a)/(1+4^a)(1+4^b)  因为分母恒大于0,所以判断分子符号：2^a+2^a*4^b-2^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^a*4^b-2^b*4^a=2^a-2^b+2^(a+b)*(2^b-2^a)=(2^b-2^a)*(2^(a+b)-1)
 0<a<1,0<b<1,所以0<a+b,2^(a+b)>1,又2^a<2^b,所以f(a)-f(b)>0所以函数单调递减.
3）因为函数单调递减,所以最小值趋近于f(1）=2/5,最大值不会求（我给你的图是整个y=(2^x）÷(1+4^x)的）
 有解可以看成两函数图像有交点,y1=f(x),y2=m是平行于x轴的直线,所以这条直线位于2/5和最大值之间,也就是m在这个范围内,并且2/5和最大值都不能取.能力所限,抱歉. 我估测最大值是1/2.