题目

直角坐标系中第一象限内的点P(x,y)到x轴,y轴及直线x+y-2=0的距离都相等 求x的值

提问时间：2020-08-03

答案

∵点P在第一象限内,
∴点P到x轴的距离＝y,点P到y轴的距离＝x,点P到直线x＋y－2＝0的距离＝｜x＋y－2｜/√2.
依题意,有：x＝y＝｜x＋y－2｜/√2.
情形一：
当｜x＋y－2｜＞0时,x＝y＝（x＋y－2）/√2,∴√2x＝√2y＝x＋y－2,
由√2x＝x＋y－2,得：y＝2＋（√2－1）x,由√2y＝x＋y－2,得：x＝2＋（√2－1）y,
∴x＝2＋（√2－1）［2＋（√2－1）x］＝2＋2√2－2＋（√2－1）^2x＝2√2＋（2－2√2＋1）x
∴（2√2－2）x＝2√2,∴x＝√2/（√2－1）＝√2（√2＋1）＝2＋√2.
情形二：
当｜x＋y－2｜＜0时,x＝y＝－（x＋y－2）/√2,∴√2x＝√2y＝2－x－y,
由√2x＝2－x－y,得：y＝2－（√2＋1）x,由√2y＝2－x－y,得：x＝2－（√2＋1）y,
∴x＝2－（√2＋1）［2－（√2＋1）x］＝2－2√2－2－（√2＋1）^2x＝－2√2－（2＋2√2＋1）x
∴（2√2＋4）x＝－2√2.因为x＞0,所以这显然是不合理的,应舍去.
∴符合条件的x的值是2＋√2.