题目

设X1≥0,Xn=√﹙2+Xn-1﹚ ﹙n=2,3...),求极限limXn

提问时间：2020-08-03

答案

问题一般化：
设X1≥0,Xn=√( a + X[n-1] ) ﹙n=2,3...),求极限limXn
首先,对任意正整数n,xn>0； 
 
其次,x1<x2.若有xk<x(k+1),则由x(k+1)=√(a+xk),x(k+2)=√[a+x(k+1)]可知,有x(k+1)<x(k+2),这说明xn是单调递增数列；
 
再次,x1=√a<√a+1.若xk<√a+1,则x(k+1)=√(a+xk)<√(a+√a+1)<√(a+2√a+1)=√a+1,
 
这说明xn是有上界的；

所以,当n趋于无穷时,xn的极限存在,令lim(n→∞)xn=x,
 
则 对xn=√[a+x(n-1)] 两边取极限,得 x=√(a+x),
 
x^2-x-a=0,
 
解得 x=[1+√(1+4a)]/2,
 
即 lim(n→∞)xn=[1+√(1+4a)]/2